Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C

为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。

(1) 求证：CD为⊙0的切线；

(2) 若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

Answer 1

(1)证明：连接OC,

∵点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°，

有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线．（4分）

(2) 解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化简得：

解得或。

由AD<DF，知，故。

从而AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6. （10分）