Question

我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．

一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N.小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：

(1)当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；

(2)当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值(用含α的三角函数表示)．

Answer 1

解　(1)在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，

∴M′E＝N′F，∠M′EM＝∠N′FN＝90°，

∠EMM′＝∠FNN′，∴△MM′E≌△NN′F.

∴MM′＝N′N.

(2)法一　∵∠NFN′＝∠MEM′＝90°，

∠FNN′＝∠EM′M＝α，

∴△NFN′∽△M′EM，∴＝.

∵M′E＝N′F，∴＝＝tan α.

①当α＝45°时，tan α＝1，则MM′＝NN′；

②当α≠45°时，MM′≠NN′，则＝tan α.

法二　在方形环中，∠D＝90°.

又∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F＝M′E.

∴∠MM′E＝∠N′NF＝α.

在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，

sin α＝，cos α＝，即＝tan α.

①     当α＝45°时，MM′＝NN′；

②当α≠45°时，MM′≠NN′，则＝tan α.