Question

如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本题分两种情况：
①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．
②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．
解答：解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°．

（2）∵CP与⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①过点C作CP₁⊥OB，垂足为P₁，延长CP₁交⊙A于Q₁；
∵OA是半径，
∴，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形，
∴P₁O=OA=2；
②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q₂，CQ₂与x轴交于P₂；
∵A是圆心，
∴DQ₂是OC的垂直平分线，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
过点Q₂作Q₂E⊥x轴于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，
∴Q₂E=AQ₂=2，AE=2，
∴点Q₂的坐标（4+，-2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴，
∴C点坐标（2，）；
设直线CQ₂的关系式为y=kx+b，则
，
解得，
∴y=-x+2+2；
当y=0时，x=2+2，
∴P₂O=2+2．
点评：本题综合考查函数、圆的切线，等边三角形的判定以及垂径定理等知识点．要注意（3）中的等腰三角形要按顶点和腰的不同来分类讨论．