题目内容

如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF•BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM•ON的值；
（4）求线段EF长的最小值．（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， $数学公式$ 或 $数学公式$ ）

（1）证明：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE．
∴△AOF∽△BEO．

（2）∵△BOE∽△AOF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AF•BE=4．

（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．
则易得ME=2-a，OD= $\text{[math]}$ ，FB= $\text{[math]}$ BN= $\text{[math]}$ （2-b），
DF=BD-BF= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （2-b）= $\text{[math]}$ （b-1），
∵∠EMO=∠ODF=90°，
∵∠EOF=45°，
∵∠MOE+∠EOD=∠FOD+∠EOD=45°
∴∠MOE=∠DOF，
∴△MOE∽△DOF，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ab=2，
即OM•ON=2．
（4）解： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，EF取得最小值 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，得∠A=∠B=45°；根据三角形的外角的性质，得∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，结合∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，证明∠AFO=∠BOE，从而根据两角对应相等，即可证明△AOF∽△BEO；
（2）根据相似三角形的性质，得 $\text{[math]}$ ，即AF•BE=4；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．根据等腰直角三角形的性质，可以分别用a表示ME，DF，BN的长；根据△MOE∽△DOF，就可求得OM•ON的值；
（4）用a和b表示EF的长，从而分析EF的最小值．
点评：此题综合考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及函数的最小值的求法．