题目内容
9．
已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2-4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=$2\sqrt{5}$．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式表示线段CO的长；
（3）如果把A、B之间的抛物线（包含A、B两点）图象记为G，直线l：y=-x+b与图象G只有一个公共点，求b的值．
分析 （1）先根据y轴上点的坐标特征确定B（0，-4），再利用勾股定理计算出OA=2，则A点坐标为（-2，0），然后把A点坐标代入y=ax2-4求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设P（m，m2-4）（m＞2），求出直线AP的解析式即可．
（3）讨论：当直线y=-x+b经过点A（-2，0）时，y=-x+b与图象G只有一个公共点，当直线y=-x+b经过点B（0，-4）时，y=-x+b与图象G，有2个公共点，由此可以得出b的取值范围；当若y=-x+b与图象G只有一个公共点，利用方程-x+b=x2-4有等根，△=0即可．
解答 解：如图，
（1）当x=0时，y=ax2-4=-4，则B（0，-4），所以OB=4，
在Rt△OAB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
∴A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）代入y=ax2-4得4a-4=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2-4；
（2）设P（m，m2-4）（m＞2），
设直线AP的解析式为y=kx+n，
把A（-2，0），P（m，m2-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{mk+n={m}^{2}-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m-2}\\{n=2m-4}\end{array}\right.$．
故直线AP的解析式为y=（m-2）x+2m-4，
当x=0时，y=（m-2）x+2m-4=2m-4，
∴C（0，2m-4），
∴OC=2m-4；
（3）①当直线y=-x+b经过点A（-2，0）时直线与图象G只要一个交点，2+b=0，解得b=-2，当直线y=-x+b经过点B（0，-4）时直线与图象G有两个交点，b=-4，
所以当-2≤b＜-4时，y=-x+b与图象G只有一个公共点；
②当方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4}\\{y=-x+b}\end{array}\right.$有一组解时，y=-x+b与图象G只有一个公共点，则方程-x+b=x2-4有等根，
所以△=1-4（-4-b）=0，解得b=-$\frac{17}{4}$，
综上所述：当-2≤b＜-4或b=-$\frac{17}{4}$时，y=-x+b与图象G只有一个公共点．
点评 本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数的性质、勾股定理等知识，理解题意是解题的关键，第三个问题有点难度，通过特殊点，转化的思想解决．
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