Question

（2012•通州区二模）如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂； …；∠A₂₀₁₁BC与∠A₂₀₁₁CD的平分线相交于点A₂₀₁₂，得∠A₂₀₁₂，则∠A₂₀₁₂=

α

22012

．

Answer 1

分析：根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠ABC=∠ACD，∠A₁+∠A₁BC=∠A₁CD，然后整理即可得到∠A₁与∠A的关系，同理得到∠A₂与∠A₁的关系并依次找出变化规律，从而得解．

解答：解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=

1

2

∠ABC，∠A₁CD=

1

2

∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠A+∠ABC=∠ACD，∠A₁+∠A₁BC=∠A₁CD，
∴∠A₁+∠A₁BC=∠A₁+

1

2

∠ABC=

1

2

（∠A+∠ABC），
整理得，∠A₁=

1

2

∠A=

α

2

，
同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

2

×

α

2

=

α

22

，
…，
∠A₂₀₁₂=

α

22012

．
故答案为：

α

22012

．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．