Question

如图，抛物线经过原点O、点A（6，8）和点（3，-5）．
（1）求直线OA的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如果点B在线段OA上，与y轴平行的直线BC与抛物线相交于点C，△OBC是等腰三角形，求点C的坐标？

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线OA的表达式y=kx，把A的坐标代入求出k即可；
（2）设抛物线的表达为y=ax²+bx，把A的坐标和（3，-5）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）设直线BC与x轴相交于点H，设B（3m，4m），得出OH=3m，BH=4m，OB=5m，当OC=OB时，得出方程-4m=9m²-14m，当BC=OB=5m时，得出方程-m=9m²-14m，当BC=OC时，过点C作CE⊥OB，垂足为E，得到方程-14m，求出方程的解即可得到C的坐标．
解答：解：（1）设直线OA的表达式y=kx，
∵A（6，8），
∴8=6k，
解得k=，
∴所求直线的表达式为y=x，
答：直线OA的表达式为y=x．

（2）设抛物线的表达为y=ax²+bx，
∵抛物线经过点（6，8）、（3，-5），
∴，
解得，
∴所求抛物线的表达式为y=x²-x，
答：抛物线的表达式为y=x²-x．

（3）设直线BC与x轴相交于点H，
∵BC∥y轴，
∴BC⊥x轴，
设B（3m，4m），
则OH=3m，BH=4m，OB=5m，
由于△OBC是等腰三角形，
所以当OC=OB时，CH=BH=4m，点C（3m，-4m），
∴-4m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C；
当BC=OB=5m时，CH=BC-BH=m，点C（3m，-m），
∴-m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C；
当BC=OC时，过点C作CE⊥OB，垂足为E，BE=m，
BC=m，CH=BH-BC=4m-m，
点C（3m，m），
∴-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=，
∴C，
答：点C的坐标为或或．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．