Question

如图，抛物线经过原点O、点A（6，8）和点（3，-5）．
（1）求直线OA的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）如果点B在线段OA上，与y轴平行的直线BC与抛物线相交于点C，△OBC是等腰三角形，求点C的坐标？

Answer 1

分析：（1）设直线OA的表达式y=kx，把A的坐标代入求出k即可；
（2）设抛物线的表达为y=ax²+bx，把A的坐标和（3，-5）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）设直线BC与x轴相交于点H，设B（3m，4m），得出OH=3m，BH=4m，OB=5m，当OC=OB时，得出方程-4m=9m²-14m，当BC=OB=5m时，得出方程-m=9m²-14m，当BC=OC时，过点C作CE⊥OB，垂足为E，得到方程

7

8

m=9m2-14m，求出方程的解即可得到C的坐标．

解答：解：（1）设直线OA的表达式y=kx，
∵A（6，8），
∴8=6k，
解得k=

4

3

，
∴所求直线的表达式为y=

4

3

x，
答：直线OA的表达式为y=

4

3

x．

（2）设抛物线的表达为y=ax²+bx，
∵抛物线经过点（6，8）、（3，-5），
∴

8=36a+6b -5=9a+3b.

，
解得

a=1 b=- 14 3 .

，
∴所求抛物线的表达式为y=x²-

14

3

x，
答：抛物线的表达式为y=x²-

14

3

x．

（3）设直线BC与x轴相交于点H，
∵BC∥y轴，
∴BC⊥x轴，
设B（3m，4m），
则OH=3m，BH=4m，OB=5m，
由于△OBC是等腰三角形，
所以当OC=OB时，CH=BH=4m，点C（3m，-4m），
∴-4m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

10

9

，
∴C(

10

3

，-

40

9

)；
当BC=OB=5m时，CH=BC-BH=m，点C（3m，-m），
∴-m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

13

9

，
∴C(

13

3

，-

13

9

)；
当BC=OC时，过点C作CE⊥OB，垂足为E，BE=

1

2

OB=

5

2

m，
BC=

BE

cos∠OBH

=

5 2 m

4 5

=

25

8

m，CH=BH-BC=4m-

25

8

m=

7

8

m，
点C（3m，

7

8

m），
∴

7

8

m=9m2-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

119

24

，
∴C(

119

24

，

833

576

)，
答：点C的坐标为(

10

3

，-

40

9

)或(

13

3

，-

13

9

)或(

119

24

，

833

576

)．

点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．