题目内容
6．
如图，直线a经过点A（0，1）且垂直于y轴，直线b经过点B（2，0）且垂直于x轴，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象与直线a，b分别交于点E、D．（1）用k表示：点E的坐标是（k，1），点D的坐标是（2，$\frac{k}{2}$）．
（2）用k表示：OE2，OD2和DE2．
（3）按下列条件求k的值：
①以O，D，E为顶点不能构成三角形；
②以O，D，E为顶点能构成直角三角形．
分析 （1）根据点D，E的特点确定出坐标；
（2）根据两点间的距离公式直接得出结论；
（3）①判断出只有双曲线过点C时，点O，D，E不能构成三角形，②分两种情况，利用勾股定理的逆定理即可得出结论．
解答 解：（1）∵直线a经过点A（0，1）且垂直于y轴，
∴直线a的解析式为y=1，
∵点E既在直线a上，又在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴E（k，1），
∵直线b经过点B（2，0）且垂直于x轴，
∴直线b的解析式为x=2，
∵点D既在直线b上，又在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴D（2，$\frac{k}{2}$），
故答案为：（k，1），（2，$\frac{k}{2}$），
（2）由（1）知，E（k，1），D（2，$\frac{k}{2}$），
∴OD2=22+（$\frac{k}{2}$）2=$\frac{1}{4}$k2+4，OE2=k2+12=k2+1，DE2=（k-2）2+（1-$\frac{k}{2}$）2=$\frac{5}{4}$k2-5k+5
（3）①∵以O，D，E为顶点不能构成三角形；
∴点D，E重合．
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图形过点C（即：点C，D，E重合），
∵C既在直线a上，也在直线b上，
∴C（2，1），
∴k=2
②由（2）知，OD2=22+（$\frac{k}{2}$）2=$\frac{1}{4}$k2+4，OE2=k2+12=k2+1，DE2=（k-2）2+（1-$\frac{k}{2}$）2=$\frac{5}{4}$k2-5k+5，
∵点D，E是第一象限的点，
∴∠DOE≠90°，
∴以O，D，E为顶点能构成直角三角形的只有两种情况，
Ⅰ、当∠OED=90°时，
∴OE2+DE2=OD2，
∴k2+1+$\frac{5}{4}$k2-5k+5=$\frac{1}{4}$k2+4．
∴2k2-5k+2=0，
∴k=2（舍）或k=$\frac{1}{2}$；
Ⅱ、当∠ODE=90°时，
∴OD2+DE2=OE2，
∴$\frac{1}{4}$k2+4+$\frac{5}{4}$k2-5k+5=k2+1，
∴$\frac{1}{2}$k2-5k+8=0，
∴k2-10k+16=0，
∴k=2（舍）或k=8；
即：满足条件的k的值为$\frac{1}{2}$或8．
点评 此题反比例函数综合题，主要考查了点的坐标特征，平面坐标系中两点间的距离公式，直角三角形的判定，勾股定理逆定理，和构成三角形的条件，解本题的关键是用平面坐标系中两点间的距离公式，是一道比较简单的中考题目．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，若CD=2，AB=6，则S△ABD=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-3．
平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；