Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
（1）用尺规作图，作∠B的角平分线BD；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求AD的长．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的作法得出∠B的角平分线BD即可；
（2）首先得出△BED≌△BCD，进而利用AE²+ED²=AD²，求出AD即可．

解答：解：（1）如图1所示：


（2）作DE⊥AB于点E，
设CD=x，
∵∠B的角平分线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BED和△BCD中，
∵

∠DEB=∠DCB ∠EBD=∠DBC BD=BD

，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴ED=DC=x，BE=BC=6，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=4，
AD=8-x，
则AE²+ED²=AD²，
 即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
故AD=9-3=5．

点评：此题主要考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用已知得出AE²+ED²=AD²是解题关键．