Question

16．如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2．
（1）用尺规作∠A的平分线AD．
（2）角平分线AD交BC于点D，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作作（作已知角的平分线）作AD平分∠BAC；
（2）作DE⊥AC于E，如图，先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠C=45°，则可判断△CDE为等腰直角三角形，则CD=$\sqrt{2}$DE，再根据角平分线的性质得到BD=BE，设BD=x，则CD=$\sqrt{2}$x，然后利用BC=2列方程x+$\sqrt{2}$x=2，再解方程即可．

解答 解：（1）如图，AD为所求；

（2）作DE⊥AC于E，如图，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2．
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$DE，
∵AD为角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴BD=BE，
设BD=x，则CD=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=2，
∴x=2（$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$-2，
即BD的长为2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查了基本作图：熟练掌握5个基本作图．掌握角平分线的性质定理和等腰直角三角形的判定与性质是解决（2）小题的关键．