Question

16．如图，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD．求证：AP=PC+BC．

Answer 1

分析 作∠BAP的平分线交BC于M，作MN⊥AP，垂足为N，连接MP，由AAS证明△ABM≌△ANM，得出MB=MN，AB=AN=BC，再由AAS证明△ABM≌△ADQ，得出DQ=BM，证出MN=MC，由HL证明Rt△PMN≌Rt△PMC，得出PN=PC，即可得出结论．

解答 解：作∠BAP的平分线交BC于M，作MN⊥AP，垂足为N，连接MP，如图所示：
∵AM是∠BAP的平分线，∠BAP=2∠QAD，
∴∠BAM=∠MAP=∠QAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=90°，
在△ABM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MNA=90°}\\{∠BAM=∠MAP}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ANM（AAS），
∴MB=MN，AB=AN=BC，
在△ABM和△ADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠QAD}\\{∠B=∠D=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADQ（AAS），
∴DQ=BM，
∵Q为正方形ABCD的CD边的中点，
∴BM=MC，
∴MN=MC，
在Rt△PMN和Rt△PMC中，$\left\{\begin{array}{l}{MN=MC}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMN≌Rt△PMC（HL），
∴PN=PC，
∴AP=PC+BC．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．