Question

【题目】如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点.

（1）求证：△ADE≌△FCE.

（2）若，求证：.

（3）在（2）的条件下，若，，，，则点到的距离是______.（直接写出结果即可，不用写出过程）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据皮皮虾的性质可得，由E是CD中点可得DE=EC，利用ASA即可证明△ADE≌△FCE；（2）根据全等三角形的性质可得，，由AB=BC+AD可得AB=BF，利用SSS可证明△ABE≌△FBE，即可得出∠AEB=∠FEB=90°，可得结论；（3）作EH⊥AB，可得EH的长为点E到AB的距离，根据全等三角形的性质可得AE=EF，AB=BF，利用面积法求EH的长即可得答案.

（1）∵，

∴，

∵是的中点，

∴，

∵在与中，，

∴△ADE≌△FCE（ASA）.

（2）由（1）知△ADE≌△FCE，

∴，，

∵，

∴，即，

在与中，，

∴△ABE≌△FBE（SSS），

∴，

∴.

（3）如图，作EH⊥AB，

∴点E到AB的距离为EH的长，

∵在（2）的条件下有△ABE≌△FBE，，，

∴AE=EF=5，AB=BF=13，

∵由（2）得BE⊥AF，

∴S△ABE=AB·EH=AE·BE，

∵BE=12，

∴，

∴，

∴点到的距离为.

故答案为：