Question

【题目】如图，已知线段AB＝12cm，C是线段AB上一定点，且AC＝3cm，点D是线段BC上的一个动点，设CD＝xcm，以C为中心顺时针旋转线段AC以D为中心，逆时针旋转线段DB，使A、B两点能重合于点E．

（1）当C、D、E三点能构成三角形时，求x的取值范围；

（2）当x为何值时，△CDE是直角三角形？

（3）记△CDE的面积为Scm2，试求出S与x的函数表达式；若△CDE的面积为cm2，试确定此时点D的位置？

Answer 1

【答案】（1）3＜x＜6；（2）当x＝4或5时，△CDE是直角三角形；（3）S＝；当S＝时，D与点C的距离为cm或cm．

【解析】

（1）由AC＝CE＝3，AB＝12，CD＝x知DE＝BD＝9﹣x，利用三角形三边关系可得答案；

（2）分∠DCE＝90°，∠CDE＝90°和∠CED＝90°三种情况，利用勾股定理列出方程，解之可得；

（3）作EF⊥AB，设CF＝m，△CDE的面积为S，根据EF2＝9﹣m2＝（9﹣x）2﹣（x﹣m）2得m＝，由S＝CDEF知S2＝CD2EF2将相关数据代入，整理可得函数解析式，再根据题意列出方程解之可得．

解：（1）∵AC＝CE＝3，AB＝12，CD＝x，

∴DE＝BD＝9﹣x，

由CD+CE＞DE且CD﹣CE＜DE

可得，

解得：3＜x＜6；

（2）①当∠DCE＝90°时，

根据勾股定理CD2+CE2＝DE2，即x2+32＝（9﹣x）2，

解得：x＝4；

②当∠CDE＝90°时，

根据勾股定理CD2+DE2＝CE2，即x2+（9﹣x）2＝32，

整理，得：x2﹣9x+36＝0，

由△＝（﹣9）2﹣4×1×36＝﹣63＜0知方程无解；

③当∠CED＝90°时，

根据勾股定理CE2+DE2＝CD2，即32+（9﹣x）2＝x2，

解得：x＝5；

综上，当x＝4或5时，△CDE是直角三角形；

（3）过点E作EF⊥AB于点F，

设CF＝m，△CDE的面积为S，

则：EF2＝9﹣m2＝（9﹣x）2﹣（x﹣m）2，

∴m＝，

∵S＝CDEF，

S2＝CD2EF2

＝x2[9﹣]

＝﹣18（x2﹣9x+18），

∴S＝，

当S＝＝时，

解得：x1＝，x2＝，

此时点D与点C的距离为cm或cm．