Question

8．（1）如图1，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如图2，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请直接写出∠BPC与∠A的关系；
（3）如图3，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，请直接∠BPC与∠A的关系．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可求出答案．
（2）根据角平分线的定义得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，所以$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）根据题意得∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系，从而计算出∠P的度数．

解答 证明：（1）∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∵∠BPC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵BP、CP是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠P=$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BP、CP是△ABC的外角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$（180+∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，关键是根据由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P与∠A的关系．