Question

10．△ABC和△ECD都是等边三角形，△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到．

（1）如图1，当B，C，D在同一直线上，AC交BE于点F，AD交CE于点G，求证：CF=CG
（2）如图2，当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时，连接BE并延长交AD于M，求证：MD=ME．

Answer 1

分析 （1）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA=∠CEB，再根据ASA判定△DCG≌△ECF，即可得出CF=CG；
（2）先根据SAS判定△EBC≌△DAC，得出∠CDA=∠CEB，再连接CM，根据HL判定Rt△CDM≌Rt△CEM，即可得出MD=ME．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，CD=CE，CA=CB，
∴当B，C，D在同一直线上时，∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACD=120°，
在△EBC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DAC（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，
在△DCG和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEB}\\{CD=CE}\\{∠DCG=∠ECF=60°}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△ECF（ASA），
∴CF=CG；

（2）如图2，∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，CD=CE，CA=CB，
∴∠BCE=∠ACD，
在△EBC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CE}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DAC（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，
∵AD⊥CD，
∴∠CEB=∠CDA=90°=∠CEM，
连接CM，则
在Rt△CDM和Rt△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CM}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDM≌Rt△CEM（HL），
∴MD=ME．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是灵活运用：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．