Question

正方形ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且A点的坐标是（1，0）．
（1）直线y=

4

3

x-

8

3

经过点C，且与c轴交与点E，求四边形AECD的面积；
（2）若直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若直线l₁经过点F（-

3

2

，0），且与直线y=3x平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移

2

3

个单位交轴x于点M，交直线l₁于点N，求△NMF的面积．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求得C的坐标，以及E的坐标，则求得AE的长，根据直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积；
（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分的直线与CD的交点F到C的距离一定等于AE，则F的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得直线EF的解析式；
（3）根据直线l₁经过点F（-

3

2

，0）且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标代入即可求出b的值即可得出直线1₁，同理求出解析式y=2x-3

1

3

，进一步求出M、N的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积．．

解答：解：（1）在y=

4

3

x-

8

3

中，
令y=4，即

4

3

x-

8

3

x=4，
解得：x=5，则B的坐标是（5，0）；
令y=0，即

4

3

x-

8

3

=0，
解得：x=2，则E的坐标是（2，0）．
则OB=5，OE=2，BE=OB-OA=5-2=3，
∴AE=AB-BE=4-3=1，
边形AECD=

1

2

（AE+CD）•AD=

1

2

（4+1）×4=10；

（2）经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，则直线与CD的交点F，必有CF=AE=1，则F的坐标是（4，4）．
设直线的解析式是y=kx+b，则

4k+b=4 2k+b=0

，
解得：

k=2  b=-4

．
则直线l的解析式是：y=2x-4；

（3）∵直线l₁经过点F（-

3

2

，0）且与直线y=3x平行，
设直线1₁的解析式是y₁=kx+b，
则：k=3，
代入得：0=3×（-

3

2

）+b，
解得：b=

9

2

，
∴y₁=3x+

9

2

，
已知将（2）中直线l沿着y轴向上平移

2

3

个单位，则所得的直线的解析式是y=2x-4+

2

3

，
即：y=2x-3

1

3

，
当y=0时，x=

5

3

，
∴M（

5

3

，0），
解方程组

y=3x+ 9 2 y=2x-3 1 3

得：

x=-7 5 6 y=-19

，
即：N（-7

5

6

，-19），
S_△NMF=

1

2

×[

5

3

-（-

3

2

）]×|-19|=

361

12

．
答：△NMF的面积是

361

12

．

点评：本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式．