Question

如图△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．
（1）PH=______cm．
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为______cm²．

Answer 1

设AC与DF和EF的交点分别为M，N，如下图所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，点P为斜面中点，
∴FD=6

3

cm，DE=6cm，FP=6cm，
根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，
∴

FP

FD

=

HP

DE

=

FH

EF

，即

6

6 3

=

HP

6

=

FH

12

，
解得：PH=2

3

，FH=4

3

；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，

BA

NP

=

AC

CP

=

BC

NC

，即

6

NP

=

6 3

CP

=

12

NC

，其中CP=6，
解得NP=2

3

，NC=4

3

．
FN=FP-NP=6-2

3

，
由△FMN∽△CPN，可知

FN

NC

=

1- 3

2

，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知
S_{四边形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-

3

2

）S_△CNP=6×2

3

×

1

2

×

3

2

=9．
△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm²．
故答案为：2

3

，9．