Question

【题目】如图，点A，B，C三点均在⊙O上，⊙O外一点F，有OA⊥CF于点E，AB与CF相交于点G，有FG＝FB，AC∥BF．

(1)求证：FB是⊙O的切线．

(2)若tan∠F＝，⊙O的半径为，求CD的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)CD＝16.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，可得∠OAB=∠OBA，∠FGB=∠FBG，可得∠FBG+∠OBA=90°，则结论得证；

（2）根据平行线的性质，可得∠ACF=∠F，根据等角的正切值相等，可得AE，根据勾股定理，可得答案．

(1)∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC＝90°．

∴∠OBA+∠AGC＝90°，

∵FG＝FB；

∴∠FGB＝∠FBG，

∵∠AGC＝∠FGB，

∴∠AGC＝∠FBG，

∴∠FBG+∠OBA＝90°，

∴∠FBO＝90°，

∴FB与⊙O相切，

(2)如图，设CD＝a，

∵OA⊥CD，

∴CE＝CD＝a．

∵AC∥BF，

∴∠ACF＝∠F，

∵tan∠F＝，

tan∠ACF＝，

即，

∴AE＝，

连接OC，OE＝，

∵CE2+OE2＝OC2，

∴ ，

解得：a＝16，

∴CD＝16．