Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P

（

5

3

，0）

，使PA+PB最小．

Answer 1

分析：根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为y=

2

x

．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，当y=0时，x=

5

3

，即可得出答案．

解答：解：设A点的坐标为（a，b），则b=

k

a

，
∴ab=k，
∵

1

2

ab=1，
∴

1

2

k=1
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

．
根据题意画出图形，如图所示：
联立得

y= 2 x y= 1 2 x

，
解得

x=2 y=1

，
∴A为（2，1），
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：

2m+n=-1 m+n=2

，
解得：

m=-3 n=5

∴BC的解析式为y=-3x+5，
当y=0时，x=

5

3

，
∴P点为（

5

3

，0）．
故答案为：（

5

3

，0）．

点评：此题考查了反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、轴对称等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．