题目内容

如图,正比例函数y=
1
2
x的图象与反比例函数y=
k
x
(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知△AOM的面积为1,点B(-1,t)为反比例函数在第三象限图象上的点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)试求出点A、点B的坐标;
(3)在y轴上求一点P,使|PA-PB|的值最大.
分析:(1)设A(m,n),A在正比例函数y=
1
2
x的图象上,可得到n=
1
2
m,进而得到A(m,
1
2
m),再根据△AOM的面积为1,可以求出m的值,进而得到A点坐标,再利用待定系数法算出反比例函数解析式;
(2)根据反比例函数解析式,把B点坐标代入即可算出t的值,进而得到B点坐标;
(3)作点A关于直线y的对称点A′,作直线A′B交y于P点,则点P为所求点,求出P点坐标即可.
解答:解:(1)设A(m,n),
∵A在正比例函数y=
1
2
x的图象上,
∴n=
1
2
m,
∴A(m,
1
2
m),
∴AM=
1
2
m,OM=m,
∵△AOM的面积为1,
1
2
×
1
2
m×m=1,
解得:m=±2,
∵A在第一象限,
∴m=2,
∴A(2,1),
∵A点在反比例函数y=
k
x
(k≠0)的图象上,
∴k=2×1=2,
∴反比例函数关系式为:y=
2
x


(2)∵点B(-1,t)为反比例函数y=
2
x
在第三象限图象上的点,
∴t=
2
-1
=-2,
∴B(-1,-2);

(3)作点A关于直线y的对称点A′,作直线A′B交y于P点,则点P为所求点,
∵A(2,1),
∴A′(-2,1),
设A′B的函数解析式为y=kx+b,
∵图象过A′(-2,1),B(-1,-2),
-2k+b=1
-k+b=-2

解得:
k=-3
b=-5

∴A′B的函数解析式为y=-3x-5,
∴P(0,-5 ).
点评:此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点,待定系数法求函数解析式,最短线路问题,解答此题的难点是根据轴对称的性质画出图形,再由两点之间线段最短的知识求解.
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