Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为：y=a（x+ ）（x﹣3 ），代入点C（0，3）后，得：

a（0+ ）（0﹣3 ）=3，解得 a=﹣

∴抛物线的解析式：y=﹣ （x+ ）（x﹣3 ）=﹣ x2+ x+3

（2）

解：设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意，有：

，

解得 ．

故直线BC：y=﹣ x+3．

由抛物线的解析式知：P（ ，4），将点P的横坐标代入直线BC中，得：D（ ，2）．

设点Q（x，y），则有：

QC2=（x﹣0）2+（y﹣3）2=x2+y2﹣6y+9、QD2=（x﹣ ）2+（y﹣2）2=x2+y2﹣2 x﹣4y+7；

而：PA2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣4）2=28、AD2=（﹣ ﹣ ）2+（0﹣2）2=16、CD=PD=2；

△QCD和△APD中，CD=PD，若两个三角形全等，则：

①QC=AP、QD=AD时，

②QC=AD、QD=AP时，

解①、②的方程组，得： 、 、 、 ；

∴点Q的坐标为（3 ，4）、（ ，﹣2）、（﹣2 ，1）或（0，7）

（3）

解：根据题意作图如右图；

由D（ ，2）、B（3 ，0）知：DF=2，BF=2 ；

∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等边三角形；

在△CEM和△DEN中，

∴△CEM≌△DEN，则 CM=DN，PM=2CM=2DN；

设点M（x，﹣ x+3），则有：

PM2=（ ﹣x）2+（4+ x﹣3）2= x2﹣ x+4、CM2=x2+ x2= x2；

已知：PM2=4CM2，则有：

x2﹣ x+4=4× x2，解得 x= ；

∴CM=DN= ×x= × = ；

则：FN=DF﹣DN=2﹣ = ，

∴点N（ ， ）．

【解析】（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．（2）由于点Q的位置可能有四处，所以利用几何法求解较为复杂，所以可考虑直接用SSS判定两三角形全等的方法来求解．那么，首先要证明CD=DP，设出点Q的坐标后，表示出QC、QD的长，然后由另两组对应边相等列方程来确定点Q的坐标．（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即可得出DN的长，由此求得点N的坐标．