Question

【题目】现有一块矩形地皮，计划共分九个区域区域甲、乙是两个矩形主体建筑，区域丙为梯形停车场，区城①-④是四块三角形绿化区，△AEL和△CIJ为综合办公区（如图所示）．∠HEL=∠ELI=90°,MN//BC．AD=220米，AL=40米，AE=IC=30米．

（1）求HI的长

（2）若BG=KD，求主体建筑甲和乙的面积和.

（3）设LK=3x米，绿化区②的面积为S平方米.若要求绿化区②与④的面积之差不少于1200平方米，求S关于x的函数表达式.并求出S的最小值

Answer 1

【答案】（1）；（2）15750；（3）当x=30时，S最小值=3600.

【解析】

（1）过H作HP⊥LI于点P，得四边形EHPL为矩形，得HP=EL=50米，再证∠PHI=∠ALE，由cos∠ALE便可求得HI；

（2）设BG=KD=x米，用x表示KL、GH，进而通过三角函数用x表示KN、MG、EF，再由AE+EF=KN，列出x的方程，求出x的值便可；

（3）由三角函数用x表示KN，进而表示FM、GH、MG，再已知条件“绿化区②与④的面积之差不少于1200平方米”列出不等式，求出x的取值范围，进而由三角形面积公式表示出S与x的函数关系式，最后由函数性质求出最小值．

（1）过H作HP⊥LI于点P，如图所示，

则四边形EHPL为矩形，HP=EL=，

∵∠A=∠B=∠EHP=90°，

∴∠PHI+∠BHE=∠BHE+∠BEH=∠BEH+∠AEL=∠AEL+∠ALE=90°，

∴∠ALE=∠PHI，

∴，

∴，

答：HI的长度为米；

（2）设BG=KD=x米，则GH=220-x--30=-x，LK=220-40-x=180-x，FM=x，

由互余角性质，易证∠KLN=∠AEL=∠EMF=∠MHG，

∴tan∠KLN=tan∠EMF=tan∠MHG=tan∠AEL=，

∴KN=LKtan∠KLN=240-x，

EF=MFtan∠EMF=x，

MG=GHtan∠MHG=170-x，

∵MN∥BC∥AD，

∴AF=KN，即30+x=240-x，

解得，x=，

∴主体建筑甲和乙的面积和为：BGGM+DKKN=×（170-×）+×（240-×）=15750，

答：主体建筑甲和乙的面积和15750平方米；

（3）∵LK=3x，

∴KN=LKtan∠KLN=3x×=4x，NJ=KD=220-40-3x=180-3x，

∴BG=FM=220-NJ-MN=220-180+3x-=3x-，

∴GH=220-BG-HI-IC=220-3x+--30=150-3x，

∴GM=GHtan∠GHM=200-4x，

∵绿化区②与④的面积之差不少于1200平方米，

∴NJGM-GHGM≥1200，

即（180-3x）（200-4x）-（150-3x）（200-4x）≥1200，

解得，x≤30，

∵S=NJGM=（180-3x）（200-4x）=6（x-55）2-25，

∴当x＜55时，S随x的增大而减小，

∴当x=30时，S有最小值为：S=6（30-55）2-25=3600．