Question

【题目】如衅，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,sin∠BAC=,点D在AB的延长线上，BD=BC,AE平分∠BAC交CD于点E，若AE=5,则点A到直线CD的距离AH为________，BD的长为________．

Answer 1

【答案】5； 2

【解析】

证明HA=HE，理由等腰直角三角形的性质即可求出AH，由sin∠BAC=，设BC=BD=2k，AB=3k，则AC=k，证明△HAC∽△HDA，可得AH2=HCHD，由△AHC∽△CMB，可得，推出，推出CM=2，CD=4，可得25=HC（HC+4），求出CH即可解决问题．

如图，作BM⊥CD于M．

∵BC=BD，

∴∠D=∠BCD，

∵AH⊥DH，

∴∠H=∠ACB=90°，

∴∠ACH+∠HAC=90°，∠ACH+∠BCD=90°，

∴∠HAC=∠BCD=∠D，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAC=∠EAD，

∵∠HAE=∠HAC+∠EAC，∠AEH=∠D+∠EAD，

∴∠HAE=∠AEH，

∴HA=HE，

∵AE=5，

∴AH=HE=5，

∵sin∠BAC=，设BC=BD=2k，AB=3k，则AC=k，

∵∠H=∠H，∠HAC=∠D，

∴△HAC∽△HDA，

∴AH2=HCHD，

∵∠BCM=∠HAC，∠H=∠BMC=90°，

∴△AHC∽△CMB，

∴，

∴，

∴CM=2，

∵BC=BD，BM⊥CD，

∴CM=DM=2，

∴CD=4，

∴25=HC（HC+4），

∴HC=或-5（舍弃），

∴AC=，

∴k=，

∴k=，

∴BD=CB=2k=2，

故答案为5，2．