Question

如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．

(1)求图中阴影部分的面积；

(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)法一：过O作OE⊥AB于E，则AE＝AB＝2　　1分 　　在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30°＝． 　　∴OA＝＝＝4　　3分 　　又∵OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°． 　　∵AC⊥BD，∴． 　　∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°　　5分 　　∴S阴影＝＝　　6分 　　法二：连结AD　　1分 　　∵AC⊥BD，AC是直径， 　　∴AC垂直平分BD　　2分 　　∴AB＝AD，BF＝FD，． 　　∴∠BAD＝2∠BAC＝60°， 　　∴∠BOD＝120°　　3分 　　∵BF＝AB＝2，sin60°＝， 　　AF＝AB·sin60°＝4×＝6． 　　∴OB2＝BF2＋OF2．即． 　　∴OB＝4　　5分 　　∴S阴影＝S圆＝　　6分 　　法三：连结BC　　1分 　　∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°． 　　∵AB＝4， 　　∴　　3分 　　∵∠A＝30°，AC⊥BD，∴∠BOC＝60°， 　　∴∠BOD＝120°． 　　∴S阴影＝π·OA2＝×42·π＝　　6分 　　以下同法一． 　　(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， 　　∴． 　　∴　　10分