Question

如图，已知：A、B分别是x轴上位于原点左、右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，此时，S_△AOP=6．
（1）求P的值；
（2）若S_△BOP=S_△DOP，求直线BD的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，则PF=2．求出S_△COP和S_△COA，即

1

2

OA×2=4，则A（-4，0），则|p|=3，由点P在第一象限，得p=3；
（2）根据S_△BOP=S_△DOP，得DP=BP，即P为BD的中点，作PE⊥x轴，设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），求得k，b．得出直线BD的函数解析式．

解答：解：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，则PF=2．
∵C（0，2），
∴CO=2．
∴S_△COP=

1

2

×2×2=2．
∵S_△AOP=6，S_△COP=2，
∴S_△COA=4，
∴

1

2

OA×2=4
∴OA=4，
∴A（-4，0），
∴S_△AOP=

1

2

×4|p|=6，
∴|p|=3
∵点P在第一象限，
∴p=3；

（2）过点O作OH⊥BD，则OH为△BOP△DOP的高，
∵S_△BOP=S_△DOP，且这两个三角形同高，
∴DP=BP，即P为BD的中点，
作PE⊥x轴于点E（2，0），F（0，3）．
∴OB=2PF=4，OD=2PE=6，
∴B（4，0），D（0，6）．
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），则

4k+b=0 b=6

，
解得k=-

3

2

，b=6．
∴直线BD的函数解析式为y=-

3

2

x+6．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积的求法以及相交线、平行线的性质．