Question

【题目】如图，在中，，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．

（1）用含的代数式表示线段的长；

（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；

（3）能否为直角三角形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），定义域为：；（3）当BP为或时，为直角三角形．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质可得BD=CD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得，即可得出DG的长度；

（2）根据相似三角形的性质可得，，根据三角形的面积公式即可表达出；

（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况，根据相似三角形的性质即可求出BP的长度．

解：（1）∵，，，

∴BD=CD=3

在Rt△ABD中，，

∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，

∴△ABD∽△GBP

∴，

∴，

∴，

故

（2）∵PF∥AC

∴△BFP∽△BCA

∴

即

∴

∴，

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，

∴∠DEG=∠ABD，∠ADG=∠ADB=90°，

∴△DEG∽△DBA

∴，

∴，

整理得：，

∴

定义域为：

（3）若EF⊥PG时，

∵EF⊥PG，ED⊥FG，

∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，

∴∠DEG=∠EFD，且∠EDF=∠EDG，

∴△EFD∽△GDE，

∴

∴，

∴，

整理得：，

解得：，（不合题意，舍去），

若EF⊥PF，

∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，

∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，

∴△EDF∽△CDA

∴

，

解得：，

综上所述，当BP为或时，为直角三角形．