Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，∠ODC=30°．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若CA=6，求DC的长．

Answer 1

（1）连接OC，如图所示：
∵AO⊥BC，且O为圆心，
∴点A为

BC

的中点，即

AB

=

AC

，
∴∠BCA=∠ABC，
又BE为切线，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°，
∴OC⊥CD，
则CD为圆O切线；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴tan∠ODC=tan30°=

OC

CD

，
则CD=

OC

tan30°

=6

3

．