Question

如图，已知矩形ABCD，AP⊥AC交BD的延长线于P，点E在AP上，以AE为直径的⊙O正好过D点．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并予以证明，
（2）若PE=1，PD=2，求S_矩形ABCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，由矩形ABCD可知∠DAC=∠ADB，又知∠OAD=∠ODA，故可得∠ODB=90°，
（2）由切割线定理PD²=PE×PA，得出AE的长，进而利用勾股定理得出AM的长，利用三角形面积关系得出答案即可．
解答：（1）答：BD与⊙O相切．
证明：连接OD；
由矩形ABCD可知∠DAC=∠ADB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AP⊥AC，
∴∠ODA+∠ADB=∠OAC=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD与⊙O相切．

（2）解：由切割线定理PD²=PE×PA，
即4=1×（1+AE）
解得：AE=3，
∵在矩形ABCD中，AP⊥AC交BD的延长线于P，
∴AM=DM，
∴PA²+AM²=PM²，
∴4²+AM²=（2+AM）²，
解得：AM=3，
∴S_△PAM=×AM×AP=×3×4=6，
∴==，
∴S_△ADM=6×=3.6，
∴S_矩形ABCD=4S_△ADM=3.6×4=14.4．
点评：本题考查了切线的判定以及三角形面积求法和矩形的性质等知识点，根据已知得出==是解题关键．