Question

19．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为点E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=4$\sqrt{3}$，BE=2．
（1）求AD的长；
（2）求证：四边形FADC是菱形；
（3）求证：FC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AF为圆O的切线，得到AF垂直于AB，再由AB垂直于CD，得到AF与CD平行，根据FC与AD平行，得到四边形ADCF为平行四边形，在直角三角形COE中，设OC=r，则OE=r-2，利用垂径定理求出CE的长，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，由OA+OE求出AE的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的长；
（2）由（1）得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（3）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．

解答 解：（1）连接OC，
∵AF为圆O的切线，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E为CD中点，即CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
∵FC∥AD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴FC=AD，AF=CD
在Rt△OCE中，设OC=OB=r，则OE=OB-EB=r-2，
根据勾股定理得：OC²=CE²+OE²，即r²=（2$\sqrt{3}$）²+（r-2）²，
解得：r=4，
∴AE=AO+OE=4+2=6，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，

（2）∵AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，CD=4$\sqrt{3}$，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∵AD=CD，
∴平行四边形FADC是菱形；

（3）连接OF，AC，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．

点评 此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．