Question

如图，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D₁，再从D₁作D₁D₂⊥AC交AC于D₂，再从D₂作D₂D₃⊥BC交BC于D₃，…，则AD₁+D₂D₃+D₄D₅+D₆D₇+D₈D₉=

 

；D₁D₂+D₃D₄+D₅D₆+D₇D₈+D₉D₁₀=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形的中位线定理，找出D₄D₅是D₂D₃的中位线，D₂D₃是AD₁的中位线，D₃D₄是D₁D₂的中位线，以此类推，可以计算结果．

解答：解：根据中位线定理，中位线为对应边的长度的一半，我们可知：
（1）D8D9=

1

2

D6D7=

1

4

D4D5= 

1

8

D2D3=

1

16

AD1，
所以AD₁+D₂D₃+D₄D₅+D₆D₇+D₈D₉=AD₁（1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

）=

31

16

AD1，
因为△ABC为等腰直角三角形，且AD₁⊥BC，
所以D₁为BC的中点，且AD1=

2

2

AB=16

2

，
所以AD₁+D₂D₃+D₄D₅+D₆D₇+D₈D₉=

31

16

× 16

2

=31

2

；
（2）D₁D₂+D₃D₄+D₅D₆+D₇D₈+D₉D₁₀=D₁D₂（1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

）=

31

16

D1D2，
D₁为BC的中点，D₂为AC的中点，所以D₁D₂=

1

2

AB=16，
所以D₁D₂+D₃D₄+D₅D₆+D₇D₈+D₉D₁₀=

31

16

×16=31．
因此第一个空填31

2

；第二个空填31．
故答案为31

2

；31．

点评：此题关键是考查中位线定理在三角形中的应用，找出中位线为对应边长的一半的规律，解决问题．