题目内容
已知直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于A，B，与双曲线y=
在第一象限交于C（1，m）．
（1）求点B、点C的坐标及k的值；
（2）问在双曲线y=
上且在直线y=2x+4的下方，是否存在点M，使△MAB得面积等于△ABO的面积的2倍？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是双曲线y=
第一象限上的动点，Q是直线y=2x+4上的动点，若△BPQ是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．
| k |
| x |
（1）求点B、点C的坐标及k的值；
（2）问在双曲线y=
| k |
| x |
（3）点P是双曲线y=
| k |
| x |
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）由题意可知B点的纵坐标为4，C点的横坐标为1，分别代入直线方程可求得两点的坐标，再把C点坐标代入双曲线解析式可求得k的值；
（2）△MAB和△ABO中AB为底，只要高满足2倍关系即可，过O作出△ABO的AB边上的高，利用对称性，作出D关于O点的对称点E，过E和AB平行的直线与双曲线的交点即为所求的M点，利用求交点坐标的方法可解出M的坐标；
（3）当∠PBQ为直角时，过点B且垂直AB的直线与双曲线的交点即满足题意，当∠PQB为直角时，则过B的直线与直线AB的夹角为45°即可，求出相应直线方程，联立方程组求解即可．
（2）△MAB和△ABO中AB为底，只要高满足2倍关系即可，过O作出△ABO的AB边上的高，利用对称性，作出D关于O点的对称点E，过E和AB平行的直线与双曲线的交点即为所求的M点，利用求交点坐标的方法可解出M的坐标；
（3）当∠PBQ为直角时，过点B且垂直AB的直线与双曲线的交点即满足题意，当∠PQB为直角时，则过B的直线与直线AB的夹角为45°即可，求出相应直线方程，联立方程组求解即可．
解答：解：（1）在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，
则B的坐标是（0，4），
令x=1，解得：y=6，
则C的坐标是（1，6），
把（1，6）代入y=
中，得：k=6；
（2）在y=2x+4中，令y=0，解得：x=-2，
则A的坐标是（-2，0）．
如图1，过O作OD⊥AB于点D，则直线OD的解析式是y=-
x，
图1
根据题意得：
，
解得：
，
则D的坐标是（-
，
），D关于O的对称点是E（
，-
），
经过E且平行于AB的直线的解析式是：y=2x+c，则-
=
+c，
解得：c=-4，
则解析式是y=2x-4．
根据题意的：
，
解得：
或
，
则M的坐标是（3，2）或（-1，-6）；
（3）当∠PBQ=90°时，则有BP⊥AB，
如图2，过点B作BP⊥AB，交双曲线于点P，
此时在直线AB上存在满足条件的Q点，
此时直线BP方程为：y=-
x+4，
联立双曲线方程得：
，
解得：
或
，即此时P点的坐标为（2，3）或（1，6）；
当∠BQP=90°时，如图3，过B点作直线BP，使直线BP与直线AB的夹角为45°，交双曲线于点P，交x轴于点D，此时在直线AB上存在满足条件的Q点，
则∠1=∠2+∠3=∠2+45°，
所以tan∠1=tan（∠2+45°）=
，
又tan∠1=
=
=2，所以
=2，
解得tan∠1=
，所以直线BP的方程为：y=
x+4，
联立双曲线方程得：
，
解得：
或
（因为P点在第一象限，故舍去），
此时P点的坐标为（3
-6，
+2）；
当∠BPQ=90°时，同理可求得P点坐标仍为（3
-6，
+2）；
综上可知满足条件的P点的坐标为：（2，3）或（1，6）或（3
-6，
+2）．
则B的坐标是（0，4），
令x=1，解得：y=6，
则C的坐标是（1，6），
把（1，6）代入y=
| k |
| x |
（2）在y=2x+4中，令y=0，解得：x=-2，
则A的坐标是（-2，0）．
如图1，过O作OD⊥AB于点D，则直线OD的解析式是y=-
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| 2 |
图1
根据题意得：
|
解得：
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则D的坐标是（-
| 8 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
经过E且平行于AB的直线的解析式是：y=2x+c，则-
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
解得：c=-4，
则解析式是y=2x-4．
根据题意的：
|
解得：
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则M的坐标是（3，2）或（-1，-6）；
（3）当∠PBQ=90°时，则有BP⊥AB，
如图2，过点B作BP⊥AB，交双曲线于点P，
此时在直线AB上存在满足条件的Q点，
此时直线BP方程为：y=-
| 1 |
| 2 |
联立双曲线方程得：
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解得：
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|
当∠BQP=90°时，如图3，过B点作直线BP，使直线BP与直线AB的夹角为45°，交双曲线于点P，交x轴于点D，此时在直线AB上存在满足条件的Q点，
则∠1=∠2+∠3=∠2+45°，
所以tan∠1=tan（∠2+45°）=
| 1+tan∠2 |
| 1-tan∠2 |
又tan∠1=
| OB |
| OA |
| 4 |
| 2 |
| 1+tan∠2 |
| 1-tan∠2 |
解得tan∠1=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
联立双曲线方程得：
|
解得：
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|
此时P点的坐标为（3
| 6 |
| 6 |
当∠BPQ=90°时，同理可求得P点坐标仍为（3
| 6 |
| 6 |
综上可知满足条件的P点的坐标为：（2，3）或（1，6）或（3
| 6 |
| 6 |
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数综合应用，在第（2）、（3）中确定出所求点的位置是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
抛物线y=-（x-2）2+3的顶点坐标为（ ）
| A、（0，3） |
| B、（-2，3） |
| C、（0，1） |
| D、（2，3） |
下列说法错误的是（ ）
| A、倒数和它本身相等的数，只有1和-1 |
| B、相反数与本身相等的数只有0 |
| C、立方等于它本身的数只有0、1和-1 |
| D、绝对值等于本身的数是正数 |
计算-（-3）2的结果是（ ）
| A、6 | B、-6 | C、9 | D、-9 |
已知：如图，在等边三角形ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D是MN上任意一点，CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E，若