题目内容

(本小题满分9分)
在中,,点在所在的直线上运动,作(按逆时针方向).
(1)如图1,若点在线段上运动,交于.
①问△ABD与△DCE相似吗?为什么?
②当是等腰三角形时,求的长.
(2)①如图2,若点在的延长线上运动,的反向延长线与的延长线相交于点,是否存在点,使是等腰三角形?若存在,写出所有点的位置;若不存在,请简要说明理由;
②如图3,若点在的反向延长线上运动,是否存在点,使是等腰三角形?若存在,写出所有点的位置;若不存在,请简要说明理由.

①证明:……………………………………………………1分
理由是:在中,∵
∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°

………………2分

 
∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°

………………3分

 
∴∠ADB=∠DEC    

∴          
② 当是等腰三角形时,分以下三种情况讨论
第一种情况:DE=AE
∵DE=AE
∴∠ADE=∠DAE=45°

………………4分

 
∴ ∠AED=90°, 此时,E为AC的中点,

∴AE=AC=1.
第二种情况:AD=AE(D与B重合)
AE=2………………………………………………………………………………5分
第三种情况 :AD=AE
如果AD=DE,由于,
∴ △ABD≌△DCE,
∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE= 
在中,∵,
∴ BC=, DC=-
∴-="2" ,解得,=-2 ,
∴ AE=" 4" -2……………………………………………………………6分
综上所述:AE的值是1,2,4 -2
(2)①存在。

………………7分

 
当D在BC的延长线上,且CD=CA时,是等腰三角形.

证明:∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,
∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,
∴ ∠ADC=∠DEC,又CD="CA" ,
∴ ∠CAD=∠CDA ,
∴ ∠CAD=∠CED ,
∴DA=DE′,

………………8分

 
∴ 是等腰三角形.

②不存在.
因为∠ACD=45°>∠E , ∠ADE=45°

………………9分

 
∴∠ADE≠∠E

∴不可能是等腰三角形。

解析

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