Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．

   （1）如图1，当时，求证：DF∥CB；

   （2）当时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；

   （3）若点M的坐标为（，），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的倍时，直接写出此时点E的坐标．

   （1）证明：

   （2）直线DF与CB的位置关系是：                 ．

        证明：

   （3）点E的坐标为                  ．

Answer 1

∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），

∴．

∵DP⊥AB于点P，

∴．

∵在四边形DPBO中，，

∴．

∴．  

∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，

∴，．

∴

．

∵在△FDO中，，

∴．

∴DF∥CB．  

  （2）直线DF与CB的位置关系是： DF⊥CB．  

       证明：延长DF交CB于点Q，如图2．

∵在△ABO中，，

∴．

∵在△APD中，，

∴．

∴．

∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，

∴，．

∴．  

∵在△CBO中，，

∴．

∴在△QCD中， ．

∴DF⊥CB．  

  （3）点E的坐标为（，）或（，）．