Question

16．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且关于x的方程2ax²+2cx+b=0有两个实数根．
（1）若∠C=90°，方程有两个相等的实数根，求a：b：c的值；
（2）若∠A=∠B，方程两根为x₁、x₂，且x₁-x₂=1，求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理结合根的判别式可得出关于a、b、c的三元二次方程组，解方程组用a表示出b和c，由此即可得出结论；
（2）由∠A=∠B即可得出a=b，结合根与系数的关系即可找出x₁+x₂=-$\frac{c}{a}$、x₁•x₂=$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，联立x₁-x₂=1即可求出c与a之间的关系，再通过解直角三角形可得出$\frac{1}{2}$∠C的度数，此题得解．

解答 解：（1）根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\\{△=4{c}^{2}-8ab=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=a}\\{c=\sqrt{2}a}\end{array}\right.$，
∴a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$．
（2）∵∠A=∠B，
∴a=b．
∵x₁+x₂=-$\frac{c}{a}$，x₁•x₂=$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，且x₁-x₂=1，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}$+4x₁•x₂，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+2=3，
∴c=$\sqrt{3}$a．
sin$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{\frac{c}{2}}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$∠C=60°，
∴∠C=120°．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解直角三角形，通过解方程组找出a、b、c间的关系是解题的关键．