Question

如图，抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）判断△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予证明；如果不相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）运用待定系数法，直接代入y=ax²+bx+c可以求出二次函数解析式；
（2）可以运用配方法求出二次函数的顶点坐标，再将四边形分割成2个三角形，可以得出面积；
（3）利用勾股定理得出BD与DE的长，根据勾股定理的逆定理，得出∠BDE=90°，再利用两边对应成比例，且夹角相等，得出三角形相似．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），将点A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）三点坐标代入，
得

a-b+c=0 4a+2b+c=3 c=3

，
∴

a=-1 b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（2）如图，设对称轴交x轴于点F，连接BF，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），F的坐标为（1，0）．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△BDC=

1

2

BC•HF+

1

2

BC•DH=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4；

（3）△AOB与△BDE相似．
证明：∵BD=

12+12

=

2

，BE=

OB2+OE2

=3

2

，
DE=

EF2+DF2

=

22+42

=2

5

，
∴BD²+BE²=2+18=20=DE²，
∴∠DBE=90°，
在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，
∴

OA

OB

=

1

3

=

BD

BE

，
∴△AOB∽△DBE．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及分割四边形求面积和相似三角形的判定等知识，考查内容比较全面，而且考查知识都是中考中热点问题，同学们应熟练地应用这些知识．