Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． 

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2013×2014

=

2013

2014

；
（2）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

分析：（1）观察一系列等式得到拆项规律，写出结论；利用得出的规律化简所求，计算即可得到结果；
（2）根据得出的规律，将原式变形，计算即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；
（2）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2014

）=

503

2014

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；

2013

2014

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．