Question

观察下列等式：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）直接写出下列各式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

；
（2）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）根据已知的等式得到规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数），将所求式子利用此规律拆项，抵消后通分，利用同分母分数的减法法则计算，即可得到结果；
（2）将所求式子提取

1

4

，并将剩下的分母写出相邻两数积的形式，利用上述规律拆项，抵消后计算，即可得到结果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

=1-

1

2007

=

2006

2007

；
（2）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1003×1004

）
=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1003

-

1

1004

）
=

1

4

（1-

1

1004

）=

1003

4016

．
故答案为：（1）

2006

2007

点评：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时利用利用运算律来简化运算．解题的关键是找出规律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（n为正整数）．