Question

【题目】如图，直线()交轴于点，交轴于点.

(1)求点的坐标(用含的代数式表示)

(2)若点是直线上的任意一点，且点与点距离的最小值为4，求该直线表达式；

(3)在(2)的基础上，若点在第一象限，且为等腰直角三角形，求点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)点的坐标分别是；(2) y=-x+2；(3)当点的坐标是或或时，是等腰直角三角形.

【解析】

（1）利用坐标轴上点的特点即可得出结论；
（2）利用直角三角形的面积相等建立方程求出b=2，即可得出结论；
（3）①当∠ACB=90°时，先判断出四边形ODCE是矩形，得出OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，再判断出△BCE≌△ACD（AAS），得出BE=AD，CE=CD，进而得出AD=4-m，BE=m-2，进而用AD=BE建立方程求解即可得出结论；②③当∠BAC=90°和∠ABC=90°时，构造全等三角形即可得出结论．

(1)当时，；

当时，，解得.

∴点的坐标分别是

(2)如图，

当时，点与点的距离最小，此时，

∵点的坐标是，点的坐标是，，

∴，.

在中，

∵

∴

∴，

∴直线AB的解析式为y=-x+2；

（3）如图，

由（1）知，A（4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2
过点C作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，
∵∠DOE=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，CD=OE，∠DCE=90°，
∴∠BCE+∠BCD=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
当∠ACB=90°时，
∴BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠ACE，
∴△BCE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD，CE=CD，
∴设点C坐标为（m，m），
∴AD=OA-OD=4-m，BE=OE-OB=m-2，
∴4-m=m-2，
∴m=3，
∴C（3，3），
如图2，

②当∠BAC=90°时，过点C'作C'F⊥x轴于F，
∴∠C'AF+∠AC'F=90°，
∵∠C'AF+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠FC'A，
∵AB=AC'，
∴△AOB≌△C'FA（AAS），
∴C'F=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴C'（6，4），
③当∠ABC=90°时，同②的方法得，C（2，6），
即：点C的坐标为（3，3）或（6，4）或（2，6）．