Question

己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：BE=DF；
（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。
∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。
又∵BE="DF" ，，∴。∴GF∥BC。
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。
又∵BE="DF" ，∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。

（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。（2）由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而；由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE="DF" ，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。