Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, AB = CD,E是AD的中点，AD=4，BC=6,点P是BC边上的动点（不与点B重合），PE与BD相交于点O,设PB的长为x.

(1) 当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE.
(2) 当x = （   ）时，四边形ABPE是平行四边形；当x = （   ）时，四边形ABPE是直角梯形；
（3）当P在BC上运动的过程中，四边形ABPE会不会是等腰梯形？试说明理由.

Answer 1

（1）证明见解析(2) 2；3（3）当PB=4时，四边形ABPE是等腰梯形

（1） ∵AD∥BC，
∴∠CBD = ∠ADB.
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE.              ………………………………3分
（2）2；3                          ………………………………5分
（3）当PB=4时，四边形ABPE是等腰梯形.     ………………6分
证明：∵AD∥BC即DE∥PC，
∴当PC=DE=2,即PB=BC-PC=4时，四边形PCDE是平行四边形，
∴PE=CD.
又∵AB=CD，
∴PE=AB.
∵AE∥PB且AE与PB不相等，
∴四边形ABPE是等腰梯形.        ………………………………9分
(1)根据相似三角形的判定求证
(2)根据平行四边形和直角梯形的性质求解
（3）根据等腰梯形的性质求证