Question

【题目】在中，对角线AC、BD交于点O，且分别平分∠DAB，∠ABC．

（1）请求出∠AOB的度数，写出AD、AB、BC之间的等量关系，并给予证明．

（2）设点P为对角线AC上一点，PB=5，若AD+BC=16，四边形ABCD的面积为，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1），；证明见解析；（2）的长为．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得，由AC、BD分别平分∠DAB、∠ABC可得，根据三角形内角和定理即可得∠AOB的度数；根据平行线的性质可得，即可证明，可得AB=BC，根据平行四边形的性质可得；

（2）根据AD+BC=16可得=8，当∠ABC＞90°时，过点作，根据四边形ABCD的面积可得DE的长，利用勾股定理可求出AE的长，进而可证明△DAB是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质可得OA、OB的长，根据PB=5，利用勾股定理可得OP的长，即可求出AP的长；当∠ABC＜90°时，可得OB＞5，不符合题意，综上即可得答案．

（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

∵AC、BD分别平分∠DAB、∠ABC，

∴，

∴，

之间的等量关系为，

∵，

∴，

∵AC平分，

，

四边形为平行四边形，

（2）∵，

∴，

①如图，当时，

过点作，

∵四边形的面积为，

，

，

点为的中点，，

为等边三角形，

∵∠AOB=90°，

，

∵，

或．

②如图，当时，

，AE=4，

∴BE=12，

∴BD==，

∴，

所以这样的点不存在，故排除．

综上所述：的长为．