题目内容

设 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ ．若 $数学公式$ ，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

解：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ．
∴S₁=（ $\text{[math]}$ ）²，S₂=（ $\text{[math]}$ ）²，S₃=（ $\text{[math]}$ ）²，…，S_n=（ $\text{[math]}$ ）²，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ ，
∴S=1+ $\text{[math]}$ ，
∴S=1+1- $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+1+ $\text{[math]}$ ，
∴S=n+1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：先分别求出S₁，S₂，…，S_n的值，再把S表示出来为S= $\text{[math]}$ ，然后变形为：S=1+ $\text{[math]}$ ，进而变形为：S=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+1+ $\text{[math]}$ ，从而可以得出结论．
点评：本题是一道实数的计算题，考查了 $\text{[math]}$ 在计算题中的实际运用技巧和算术平方根的运用．

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23、已知：如图，PA、PB是⊙O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，
（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；
（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，
①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；
②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

已知如图（1），⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．
（1）设AD=m，BC=n，若m、n是方程2x²-30x+a=0的两个根，求m、n．
（2）如图（2），连接OD、BE，求证：OD∥BE．

（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图②中，若AP₁=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B₁C上取一点E，连接BE、P₁E，设BC=1，当BE⊥P₁B时，求△P₁BE面积的最大值．

（2012•房山区一模）如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+8ax+16a+6经过点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．

如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．