题目内容
如图（1），一正方形纸板ABCD的边长为4，对角线AC、BD交于点O，一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处，两边分别与线段AB、AD交于点E、F，设BE=x．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．
（1）若三角板的直角顶点处于点O处，如图（2）．判断三角形EOF的形状，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若三角形EOF的面积为S，求S关于x的函数关系式．
（3）若三角板的锐角顶点处于点O处，如图（3）．
①若DF=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系，并证明你的结论．
分析：（1）首选根据正方形的性质得出∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，进而得出△AOF≌△BOE（ASA），即可得出△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x得出EF的长，进而得出EO，FO的长，即可得出S关于x的函数关系式；
（3）①首先得出△BOE∽△DFO，进而得出
=
，即可得出y与x的函数关系式；
②由①知△BOE∽△DFO，
=
，由BO=DO得出
=
而∠EOF=∠0BE=45°得出△EOF∽△EBO，得出∠FEO=∠0EB，进而得出答案．
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x得出EF的长，进而得出EO，FO的长，即可得出S关于x的函数关系式；
（3）①首先得出△BOE∽△DFO，进而得出
| DF |
| BO |
| OD |
| BE |
②由①知△BOE∽△DFO，
| EO |
| FO |
| BE |
| OD |
| EO |
| FO |
| BE |
| OB |
解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中
，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x．
∵AE2+AF2=EF2，
∴EF=
，
∴EO=FO=
，
∴S=
×EO×FO=
x2-2x+4；
（3）①∵∠EOF=∠0BE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴
=
，
∴y=
（2≤x≤4）；
②连接EF由①知△BOE∽△DFO，
∴
=
，
∵BO=DO，
∴
=
而∠EOF=∠0BE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠0EB，
∴点O到EF、BE的距离相等，而O到BE的距离，即为正方形内切圆⊙O的半径，
∴直线EF与正方形的内切圆相切．
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中
|
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x．
∵AE2+AF2=EF2，
∴EF=
| x2+(4-x)2 |
∴EO=FO=
| ||||
| 2 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）①∵∠EOF=∠0BE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴
| DF |
| BO |
| OD |
| BE |
∴y=
| 8 |
| x |
②连接EF由①知△BOE∽△DFO，
∴
| EO |
| FO |
| BE |
| OD |
∵BO=DO，
∴
| EO |
| FO |
| BE |
| OB |
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠0EB，
∴点O到EF、BE的距离相等，而O到BE的距离，即为正方形内切圆⊙O的半径，
∴直线EF与正方形的内切圆相切．
点评：此题主要考查了切线的判定以及正方形的性质和相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，利用等腰直角三角形的性质得出是解题关键．
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