Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，内切圆⊙I与BC相切于点D，∠BIC=105°，AB=8cm，求：
（1）∠BIA和∠A的度数；
（2）BC和AC的长；
（3）内切圆⊙I的半径和BI的长．

Answer 1

分析 （1）连接AI．三角形的内心即三条角平分线的交点，故此∠ICB=45°，由∠CIB=105°可知∠CBI=30°，于是得到∠CBA=60°，∠CAB=30°，∠AIB=135°；
（2）由题意可知AB=8，∠CAB=30°，依据特殊锐角三角函数值可求得BC=4，AC=4$\sqrt{3}$；
（3）根据三角形的面积=$\frac{1}{2}×$三角形的周长×内切圆的半径可求得r的值，连接ID，由∠IBD=30°可知：IB=2r．

解答 解：（1）连接AI．

∵∠ACB=90°，I是△ABC的内心，
∴∠ICB=45°．
又∵∠CIB=105°，
∴∠CBI=30°．
∴∠CBA=60°．
∴∠CAB=30°．
∴∠AIB=180°-$\frac{1}{2}×30°-\frac{1}{2}×60°$=135°．
（2）∵AB=8，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}AB$=4，AC=AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
（3）设圆I的半径为r．根据题意得：$\frac{1}{2}×（4+8+4\sqrt{3}）r$=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}$．
解得：r=2$\sqrt{3}$-2．
连接ID．

∵BC是圆I的切线，
∴ID⊥BC．
又∵∠IBD=30°．
∴IB=2ID=4$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、特殊锐角三角函数，三角形的内角和定理，明确三角形的面积=$\frac{1}{2}×$三角形的周长×内切圆的半径是解题的关键．