Question

如图2 - 50所示，抛物线y＝－(x+1)²+m(x+1)(m为常数)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点M在第一象限，△AOC的面积为1.5，点D是线段AM上一个动点，在矩形DEFG中，点G，F在x轴上，点E在MB上．

    (1)求抛物线的解析式；

    (2)当DE＝1时，求矩形DEFG的面积；

(3)矩形DEFG的面积是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)由y＝－(x+1)²+m(x+1)，得A(－1，0)，C(0，m－1)，则OA=l，OC＝m－1．∵S_△OAC=1.5，∴×1×(m-1)=1.5，∴m＝4，∴y=－x²+2x+3．(2)由y=－(x－1)²+4，令y=0，得－(x－1)²+4=0，解得x₁＝－1，x₂＝3，∴A(－l，0)，B(3，0)，M(1，4)，∴直线AM的解析式为y=2x+2．由点D在线段AM上，可设点D的坐标为(a,2a+2)，－1<a<1．当DE＝1时，由抛物线对称性可知1－a=0.5，∴a＝0.5，2a+2＝3，∴S_矩形DEFG＝DE·DG＝1×3＝3．  (3)S_矩形DEFG存在最大值．设D点坐标为(a，2a+2)，－l<a<l，由抛物线对称性可知DE＝2(1－a)，DG=2a+2．∴S_矩形DEFG＝DE·DG=2(1－a)·(2a+2)＝－4a²+4，而－1<a<l，∴当a＝0时，S取得最大值为4，此时D点坐标为(0，2)．