Question

19．如图①，AB为⊙O的直径，点M是过点A的切线上的一点，连接BM交⊙O于点C，点D、E分别是弧BC和弧AC的中点，连接AD交BM于点F，连接AE并延长交BM于点G．
（1）∠BAM=90°．
（2）求∠FAG的度数．
（3）求证：AB=BG．
（4）如图②，分别过点F、G作FH⊥AB、GK⊥AM于H、K，GK=1.6，FH=2.4，求FG．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质即可解决问题．
（2）只要证明∠DAB=∠DAC，∠GAC=∠GAM即可解决问题．
（3）欲证明BA=BG，只要证明∠BAG=∠BGA即可．
（4）只要证明CF=FH，CG=GK即可解决问题．

解答 （1）解：如图①中，
∵AM是⊙O切线，AB是直径，
∴OA⊥AM，
∴∠BAM=90°，
故答案为90，

（2）解：如图①中，连接AC、BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠MAB=90°
∴∠MAG+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠MAG=∠ABE，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABE=∠EAC=∠MAE，∠BAD=∠DAC，
∴∠DAG=∠CAD+∠CAG=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=45°．

（3）证明：如图①中，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，
∴∠ABE=∠EBG，
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠BGA+∠EBG=90°，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BA=BG．

（4）解：如图②中，连接AC．
由（2）可知，∠FAH=∠FAC，∠GAK=∠GAC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴FC⊥AC，∵FH⊥AB，
∴HF=FC=2.4，同理可证CG=GK=1.6，
∴FG=CF+CG=4．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、圆周角定理、直径的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．