Question

【题目】将一副三角板与（其中，，）如图摆放，中所对的直角边与的斜边恰好重合。以为直径的圆经过点C，且与相交于点E，连接，连接并延长交于F.

（1）求证：平分；

（2）求与的面积的比值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，，根据三角形的外角性质可得，由直径所对的圆周角为90°得∠BED=∠AEB=90°，所以可得，结论可证；

（2）过F作FG⊥BE，FH⊥AD，分别于BE、AD相交于G、H，根据角平分线的性质可得FG=FH，表示与的面积的比值，借助正切可求得它们的比值为.

（1）∵AB为的直径，

∴∠BED=∠AEB=90°，

∵，，，

∴，

∴,

,

∴

∴,即平分.

（2）如图，过F作FG⊥BE，FH⊥AD，分别于BE、AD相交于G、H.

∵∠BED=90°，∠D=60°，

∴在Rt△BDE中，，

∵FG⊥BE, FH⊥AD，平分，

∴FG=FH，

∴,故与的面积的比值为.