题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
(1)如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是___；
(2)如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
(3)如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值.
【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）AD的长为1或
或
.
【解析】
（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B＝∠PAB即可解决问题．
（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，即可解决问题．
（3）分三种情形讨论：如图3′中，当DA＝DP时；如图4中，当PA＝PD时；如图5中，当AP＝AD时；分别求解即可解决问题．
解：（1）如图2中，
∵AB＝AC，DA＝DP，
∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA，
∵∠PAC＝∠BPD，
∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠B＝∠PAB＝50°，
∵∠BAC＝180°50°50°＝80°，
∴∠PAC＝30°
故答案为30°；
（2）如图3中，△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”，
理由：作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，
∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∴DP=DA，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠BAP =∠C，
∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，
∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”；
（3）如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，
①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，
得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，
设AD=a，则AP=
∵△BPD∽△CPA，
∴
，即
，
解得
，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，
∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，
设AD=a，则BD=2-a，
，AC=2，
，
解得a=，
如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，
∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，
解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为1或或.
