Question

在△ABC中，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，则AP的长为多少？
（2）在（1）条件下，求阴影部分面积．
（3）若∠ABC=60°，∠BAC=45°，AB=4

3

．求线段EF的最小值．

Answer 1

考点：圆的综合题,垂线段最短,勾股定理,扇形面积的计算,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）连接OE、OF，由圆周角定理可得∠EOF=2∠EAF=90°，然后利用勾股定理可求得OE的长，就可得到AP的长；
（2）利用扇形和三角形的面积公式，运用割补法即可求出阴影部分的面积；
（3）由EF=

2

OE可知，当AP最短时，OE最短，EF也就最短；根据“点到直线之间垂线段最短”可知，当AP⊥BC时，AP最短，在Rt△APB中，利用三角函数即可求出AP的长，从而得到OE的长，进而得到EF的长．

解答：解：（1）连接OE、OF．
∵∠EAF=45°，
∴∠EOF=2∠EAF=90°．
∵OE=OF，EF=4，
∴EF=

OE2+OF2

=

2

OE=4，
∴OE=2

2

，
∴直径AP=2OE=4

2

；

（2）S_阴影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

90•π•(2 2 )2

360

-

1

2

×2

2

×2

2

=2π-4，
∴阴影部分面积为2π-4；

（3）由EF=

2

OE可知，当AP最短时，OE最短，EF也就最短；
根据“点到直线之间垂线段最短”可知，当AP⊥BC时，AP最短．
此时，∵∠ABC=60°，AB=4

3

，
∴AP=AB•sin∠ABC=4

3

×

3

2

=6，
∴OE=

1

2

AP=3，
∴EF=

2

OE=3

2

，
∴线段EF的最小值为3

2

．

点评：本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式、点到直线之间垂线段最短、三角函数等知识，运用割补法是解决第（2）小题的关键，利用EF=

2

OE及点到直线之间垂线段最短是解决第（3）小题的关键．